ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ประกันภัย (Actuarial science)

คณิตศาสตร์ประกันภัยเป็นวิชาสำหรับคาดคะเนความเสี่ยงที่จะเกิดขึ้นในอนาคต โดยใช้หลักการของสถิติและแนวคิดทางการเงิน ซึ่งนำมาประยุกต์ใช้สำหรับการกำหนดราคา การบริหารความเสี่ยง ในอุตสาหกรรมประกันภัย

องค์ประกอบพื้นฐานของการประกันชีวิต (The Basic Elements of Life Insurance)

การเริ่มต้นของผลิตภัณฑ์ประกันภัยเริ่มต้นเมื่อบริษัท ประกันขายผลิตภัณฑ์ประกันชีวิตที่เรียกว่ากรมธรรม์ให้กับลูกค้า

เมื่อลูกค้าชำระเบี้ยประกันภัยให้กับบริษัทประกัน มุมมองนี้ของบริษัทประกันจะได้รับกระแสเงินรับซึ่งอาจเป็นการจ่ายครั้งเดียวหรือรายงวด นักคณิตศาสตร์มีประกันภัยจะเป็นผู้กำหนดเบี้ยประกันที่ลูกค้าต้องจ่ายเพื่อให้เเน่ใจว่าเบี้ยประกันจะเพียงพอที่จะรับประกันความมั่นคงทางการเงินอย่างต่อเนื่องของบริษัท ประกันภัย

เพื่อเป็นการตอบแทนเบี้ยประกันภัยที่ผู้ถือกรมธรรม์จ่ายให้แก่บริษัทประกันภัย เมื่อผู้ถือกรมธรรม์มีเหตุการณ์บางอย่างเกิดขึ้น (เช่นการเสียชีวิตของผู้ถือกรมธรรม์) บริษัทประกันภัยจะจ่ายเงินซึ่งบริษัทประกันจะมองเป็นกระเเสเงินสดลบ

กรมธรรม์ประกันชีวิตส่วนใหญ่อาจมีการรับประกันหลายปีเบี้ยประกันที่บริษัทประกันจะนำเงินส่วนหนึ่งไปลงทุนซึ่งบริษัทประกันจะมองเป็นกระเเสเงินสดรับ

และเนื่องจากบริษัทประกันได้รับเบี้ยประกันภัยก่อนที่การเรียกร้องจะจ่ายให้กับผู้ถือกรมธรรม์ซึ่งหมายความว่าหลังการขายกรมธรรม์บริษัทประกันจะต้องเตรียมเงินสดที่อาจต้องส่งคืนลูกค้าผ่านทางการเคลมในอนาคตเงินนี้เรียกว่า Reserves หรือเงินสำรองประกันภัย บริษัทประกันต้องเตรียมเงินให้เพียงพอ สถิติมีส่วนร่วมในการเปรียบเทียบปริมาณเงินสำรองจริงกับปริมาณเงินสำรองที่คาดว่าจะต้องใช้เพื่อชำระค่าสินไหมทดแทนในอนาคตของผู้ถือกรมธรรม์

เบี้ยประกันชีวิตคือจำนวนเงินที่ผู้เอาประกันภัยจ่ายให้กับผู้รับประกันเพื่อจะได้รับผลประโยชน์ตามกรมธรรม์ประกันภัย โดยการกำหนดอัตราเบี้ยประกันภัยสำหรับประกันชีวิตต้องมีคุณสมบัติ 3 ประการคือ

Rule Adequacy มีความเพียงพอที่จะจ่ายผลประโยชน์ในอนาคตได้

Rate Equity มีความเสมอภาคกันสำหรับผู้เอาประกันที่มีความเสี่ยงในระดับเดียวกัน

Ability to pay ผู้ซื้อสามารถจ่ายได้ในเชิงเศรษฐกิจ

ซึ่งปัจจัยที่กำหนดอัตราเบี้ยประกันภัยคือ อัตรามรณะ อัตราดอกเบี้ยและ อัตราค่าใช้จ่าย

มูลค่าเงินตามเวลาสำหรับคณิตสาตร์ประกันภัย

งานคณิตศาสตร์ประกันภัยโดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับการตรวจสอบกระบวนการทางการเงินบางประเภทในระยะเวลาหนึ่ง เมื่อใดก็ตามที่ต้องคำนวณทางการเงินในช่วงระยะเวลาหนึ่งมูลค่าเงินตามเวลาเป็นสิ่งที่ต้องคำนึงถึง โดยมูลค่าเงินตามเวลาเป็นแนวคิดพื้นฐานที่ว่า เงิน 1 บาท ในปัจจุบันจะมีมูลค่ามากกว่าเงิน 1 บาทในอีกหนึ่งปีนับจากนี้ เนื่องจากเงิน 1 บาทในปัจจุบันสามารถนำเงินดังกล่าวไปลงทุนเพื่อสร้างผลตอบแทนได้ มูลค่าเงินในอนาคต (Future Value) คือจำนวนเงินที่จะได้ในอนาคตในช่วงเวลาหนึ่ง โดยได้รับผลตอบแทนจากการลงทุนซึ่งถูกเรียกว่าดอกเบี้ย ถ้าเรากำหนดให้อัตราดอกเบี้ยให้เป็น I และจำนวนเงินปัจจุบัน คือ PV และให้มูลค่าเงินในอนาคตคือ F ดังนั้น FV=PV(1+i)^n

ในทางกลับกันหากเราทราบมูลค่าในอนาคตและต้องการทราบมูลค่าปัจจุบัน PV=FV(1+i)^(-n) โดยที่(1+i)^(-n) นักคณิตศาตร์ประกันภัยมักใช้แทนด้วยสัญลักษณ์ v

นักคณิตศาสตร์ประกันภัยนำมูลค่าเงินตามเวลามาประกอบกับหลักที่ว่ามูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดที่ผู้รับประกันได้รับต้องเท่ากับมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดออก โดยเขียนเป็นสมการได้ว่าสมการดังนี้

Pvincome = PVoutgo ในส่วนของกระแสเงินจ่ายที่บริษัทประกันจะต้องจ่ายเมื่อเกิดเหตุการณ์ที่ตกลงกันไว้

การวิเคราะห์ State Transitions

ในการประมาณการกระแสเงินมีหลายปัจจัยที่อาจทำให้กระแสเงินสดที่แท้จริงแตกต่างจาก

ที่คาดการณ์ไว้ในโมเดลกระแสเงินสด เป็นสิ่งสำคัญสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่จะสามารถจำลองเหตุการณ์ที่ส่งผลกระทบต่อกระแสเงินสดการวิเคราะห์ State Transitions ซึ่งเป็นเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับความเจ็บป่วยและความตายแบบจำลองของ“ การวิเคราะห์ State Transitions” มักจะแสดงในลักษณะดังต่อไปนี้

แต่ละช่องแสดงถึงสถานะที่เป็นไปได้สำหรับแต่ละคนในขณะที่เส้นที่มีลูกศรแสดงการเปลี่ยนที่เป็นไปได้ระหว่างสถานะ ตัวอย่างเช่น Healthy สามารถเปลี่ยนไปเป็น Temporarily Ill, ชั่วคราวได้ สำหรับ Healthy และ Temporarily Ill สามารถกลายเป็น Permanently Ill ได้แต่ Permanently Ill ไม่สามารถเปลี่ยนเป็น Healthy และ Temporarily Ill โดยที่ DEAD เป็นAbsorbing หรือสถานะที่เป็นแล้วไม่สามารถเปลี่ยนเป็นสถานะอื่นได้โมเดลเหล่านี้มีความสำคัญต่อนักคณิตศาสตร์ประกันภัยเนื่องจากกระแสเงินสดที่ส่งผลกระทบต่อบุคคลและบริษัทประกันตัวอย่างเช่นลองนึกภาพผลิตภัณฑ์ประกันภัยที่กำหนดให้ผู้ถือกรมธรรม์จ่ายเบี้ยประกันภัยให้ผู้รับประกันภัยเมื่ออยู่ในสถานะ Healthyเพื่อให้ได้รับเงินเมื่ออยู่ในสถานะ Temporarily Ill ไม่มีการเรียกร้องคือจ่ายให้กับผู้ถือกรมธรรม์ในขณะที่พวกเขาอยู่ในสถานะ Healthy แต่ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวให้ความคุ้มครอง ผู้ถือกรมธรรม์ที่เป็น Temporarily Ill และเรียกร้องสิทธิ์ครั้งเดียวกับผู้ถือกรมธรรม์ที่กลายเป็น Permanently Ill กรมธรรม์สิ้นสุดลงหลังจากมีการอ้างสิทธิ์แบบครั้งเดียวครั้งเดียว เห็นได้ชัดว่าการเคลื่อนไหวในอนาคตของผู้ถือกรมธรรม์ ระหว่างสถานะจะมีผลต่อกระแสเงินสดรับสำหรับเบี้ยประกันและกระแสเงินสดจ่ายสำหรับการเรียกร้องค่าสินไหม ดังนั้นบริษัทประกันจะต้องเข้าใจความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะเหล่านี้เพื่อให้แน่ใจว่าเงินสำรองจะเพียงพอที่จะจ่ายให้กับผู้ถือกรมธรรม์เมื่อเกิดเหตุการณ์ขึ้น เพื่อความง่ายเราจะพิจารณาโมเดลสองสถานะพื้นฐาน (two-state model) เท่านั้นด้วยคือการเปลี่ยนแปลงระหว่าง Alive และ Dead state:

ตัวอย่างของผลิตภัณฑ์ที่โมเดลนี้คือผลิตภัณฑ์ที่ต้องมีผู้ถือกรมธรรม์จ่ายเบี้ยประกันปกติเมื่อพวกเขายังมีชีวิตอยู่และให้สิทธิเรียกร้องแบบครั้งเดียวเมื่อผู้ถือกรมธรรม์ตาย เห็นได้ชัดว่านี่เป็นผลิตภัณฑ์ที่ง่ายมากในทางปฏิบัตินักคณิตศาสตร์มักจะต้องพิจารณามากขึ้นรูปแบบที่ซับซ้อนของการเปลี่ยนสถานะเมื่อทำงานกับการประกันภัยและผลิตภัณฑ์ทางการเงินอื่น ๆ ในทางปฏิบัติเราจะเริ่มจากตัวอย่างผลิตภัณฑ์ของเราที่กำหนดให้ผู้ถือกรมธรรม์ต้องชำระเบี้ยประกันตามปกติเมื่อพวกเขายังมีชีวิตอยู่และให้จ่ายค่าสินใหมครั้งเดียวเมื่อผู้ถือกรมธรรม์ตายสำหรับนโยบายประเภทนี้เมื่อผู้ถือกรมธรรม์สิ้นชีวิตและพวกเขาได้รับการเคลมแบบครั้งเดียวจาก บริษัทประกันภัย บริษัทประกันภัยไม่มีภาระผูกพันเพิ่มเติมในส่วนที่เกี่ยวกับผู้ถือกรมธรรม์นั้นดังนั้นบริษัทประกันภัยจะสนใจกรมธรรม์ที่ยังมีชีวิตอยู่และความน่าจะเป็นที่จะเปลี่ยนไปสู่การเสียชีวิตโดยใช้สัญลักษณ์ เมื่อ x เป็นปัจจัยที่ส่งผลกระทบต่อการเปลี่ยนสถานะ เช่นอายุหรือเวลาคาดว่าอัตราการตายจะได้รับผลกระทบตามอายุแม้ว่าอาจมีปัจจัยอื่น ๆ เช่นเพศสถานะทางเศรษฐกิจและสังคม ฯลฯ ที่มีผลกระทบ แต่ในที่นี้จะยังไม่นำมาพิจารณา

หากต้องการทราบความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นมีชีวิตอยู่ในปัจจุบันที่อายุ x จะตายตอนอายุ x + t เขียนได้ว่า

ความน่าจะเป็นที่บุคคลแต่ละคนที่ยังมีชีวิตอยู่เมื่ออายุเท่ากับ x และ เสียชีวิตก่อน x + t และ tQ